衍射极限

白云飞飞飞

在光学学习过程中，很多朋友尽管经过了系统的学习，但是对于一些概念的东西或是很常用的东西却不是非常清楚，甚至一些相关的情况联系不起来。今天来简单讲一讲衍射极限的问题（小白也是在书上学习来的，结合自己的理解尽量讲清楚。过程中可能有错误或理解偏差，请批评指正，勿喷！）


首先来看看瑞利判据的定义：瑞利判据（Rayleigh Criterion）指在成像光学系统中，分辨本领是衡量分开相邻两个物点的像的能力。由于衍射，系统所成的像不再是理想的几何点像，而是有一定大小的光斑（爱里斑），当两个物点过于靠近，其像斑重叠在一起，就可能分辨不出是两个物点的像，即光学系统中存在着一个分辨极限，这个分辨极限通常采用瑞利提出的判据：即当一个爱里斑的中心与另一个爱里斑的第一级暗环重合时，刚好能分辨出是两个像。（结合图1来理解），用公式表示为：θ=1.22λ/D(1)。
式（1）中θ为衍射角，λ为波长为，D是光阑直径（这里的光阑可以是透镜或光孔）。可以看到λ越小，衍射角θ越小，分辨的衍射角就越小，代表分辨率越高。


但是式（1）又是怎么来的呢？这又不得不说衍射理论，式（1）来源于圆孔的夫琅禾费衍射理论。    在该条件下，接收屏上是一系列的同心圆环，中心最亮，即常说的艾里斑（见图2）。其强度分布用式（2）表示：I=I0[(2J1(kaθ))/(kaθ)]^2（2）。其中J1为一阶贝塞尔函数，θ是衍射角。式（2）的推导可参考光学书籍相关节部分内容，一般大多光学书籍都有。




如图3所示为衍射过程示意图。


夫琅禾费衍射的一个假设就是接收屏距离圆孔的距离远远大于接受屏幕上成像范围，即 f>>x，f为透镜的焦距，这里假设接收屏在透镜的焦平面上。如果衍射屏为一个小孔，那么在接受屏上就是艾里斑。衍射极限指的是一个衍射斑的极大值的空间位置与另外一个衍射斑的第一个极小值所在空间位置重合，这种情况我们认为是可以分辨这两个衍射斑的极限情况，当两个艾里斑距离更近时则无法分辨，如图1所示（感觉又绕了一遍瑞利判据！）。
当式（2）出现第一个极小值时即第一个艾里斑极小时，kaθ=1.22π（3）（可以用matlab去验证一阶贝塞尔函数的第一个极小值位置）
那么根据式（3）得：θ=1.22π/ka=1.22λ/d（4）
当衍射孔的直径比透镜要大，即透镜在衍射过程中其主要作用，则可以得到
θ=1.22π/ka=1.22λ/D（5）

到此，可以看到式（1）的瑞利判据已经得证!
在图3中，有sinθ=x/f≈θ（6）。
式（6）用到两个近似，一个式f>>x,另一个式θ很小，sinθ≈θ
将式（6）带入到式（5）得：x=1.22λf/D（7）
式子（7）就是所谓分辨力，即系统能够分辨得最小距离。
在公式中我们涉及到了透镜的直径 D，而没有用小孔的直径，这是因为衍射光线在各个角度都有，但只有入射到透镜范围内的衍射光线会重新在接收屏上成像。这里我们可以用数值孔径来形容透镜收集光线的能力，其表达式为：NA=nsinθ


在图4中，sinθ=(D/2)/f=D/2f（8）
联立式（7）、式（8）得到：x=0.61λ/sinθ（9）
在空气中n=1时：x=0.61λ/sinθ=0.61λ/NA（10）
从式子（10）可以看出，空间分辨力与透镜的数值孔径有关系，数值孔径越大，x越小，即分辨力越高。这说明，透镜尺寸越大，得到的像分辨率越高。而透镜尺寸越大带来的影响首先就是可以收集到更多的衍射光线（高角度衍射光线，即衍射光的高频成分），说明衍射光高频成分对于像分辨率有很重要的作用。
再进一步可知，在zemax设计中点列图中有一个艾里斑半径,其计算为：R=x=0.61λ/sinθ=0.61λ/NA=0.61λ/（1/（2F#））=1.22λF#=1.22λf/D（其实该表达式在式（7）中已经隐约出现了！）

DXW

讲的很好，基本没有什么问题

DSLXL

在激光里面经常讲到4λf/πD，这个公式也是计算衍射极限，有什么区别呢

超音速的橘子君

DSLXL 发表于 2024-3-18 11:32
在激光里面经常讲到4λf/πD，这个公式也是计算衍射极限，有什么区别呢

我想这位同志是不是搞错了，这个公式是高斯光束经过透镜聚焦后光斑大小的计算公式，这里默认了光束质量M2是为1的，且忽略掉像差带来的影响，是个近似的理论值，使用情况应该是衍射受限系统，实际系统肯定避免不了像差且光束质量也并非理想的高斯光束。