光学分辨率的极限

联合光科

CC：小鹤，你说按照几何光学的定律，是不是我们通过适当的选择透镜的焦距就可以造出很大很大放大倍数的显微镜系统，将任何细小的物体放大到可以清晰观测的程度？
薛定谔的鹤：你想得美，大家都知道光学分辨率越高，系统的精度越高，科学实验获得的信息更精确。但恩斯特·阿贝博士早在19世纪70年代就给光学显微镜的分辨率安排了一个天花板。今天正好一起来学习解读一下这个分辨率极限公式吧。
解读阿贝公式前，我们先了解几个概念：

分辨率

可以将密集的点区分为单个的点的能力。

分辨率极限（最大分辨率）

可识别为不同点的最小间距。光学分辨率极限的判定，最早是由物理学家恩斯特阿贝博士在1873年发现，可判定任何光学成像的分辨率理论极限。

艾里斑

凸透镜能将入射光聚焦到它的焦点上，但由于透镜口径有一定大小，光线透过时会由于波动特性会发生衍射，无法将光线聚成无限小的焦点上，而只会形成一定能量分布的光斑。中央是明亮的圆斑，周围有一组较弱的明暗相间的同心环状条纹，把其中以第一暗环为界限的中央亮斑称为艾里斑（Airy Disk）。图1为两个等光强的艾里斑从重叠到逐步分开的影像。

图1

​图2为最简单的双凸透镜显微系统示意图，我们可以看到：把物体靠近眼睛，可以增大孔径角（Angular Aperture）就可以增大在眼睛视网膜上的成像，也就是提高了分辨率。

图2

从光的波动属性分析，物体细节对光的波动的反射才是物体被观察到的根本原因。通过发射波长等于或者小于物体大小的波，它被反射回观察者。而被观测物可以被观测到的最小尺度就是1/2波长，小于这个尺度被观测物将无法反射光波，从而无法被观测。

图3

最终，阿贝博士得出的阿贝简单判定(Abbe Simple Criterion)为：

式中λ为使用光线的波长值，n为光路中透镜对介质的折射率系数，α为入射光束与透镜光轴间的夹角。

​但是在实际应用中，被测物体不是一个点而是一系列物点的集合。每一个物点经过有限直径的透镜后，在像平面上都会产生文中开头提到的艾里斑，如果两个物点的艾里斑重叠到无法分辨，我们则认为这两个物点无法被分辨，图4中让两个等光强的非相干点像逐步分开，当两个点像中心间隔等于艾里斑的半径R，这样的艾里斑可以被认为是物点可以被分辨的最小尺寸，这种不同于阿贝简单判定的方式叫做瑞利判定（Rayleigh Criterion）。

图4

那么我们来计算一下按照瑞利判定，可被分辨的艾里斑的半径（也就是可以被分辨的最小尺寸）与生成这个艾里斑的光波波长的关系。图5为原理示意图。

图5

中间演算过程涉及到冗长的傅里叶级数变换以及各种函数方程，最终计算结果为：

式中λ为使用光线的波长值，n为光路中透镜对介质的折射率系数，α为入射光束与透镜光轴间的夹角。


普通光学显微镜，为提高分辨率极限（使d 值降低），就需要从两个方面着手：

一、减小λ值

可见光的波长范围：390nm～760nm，取可见光的波长为较短数值λ=400nm时（相当于紫色光），d≈200nm=0.2μm，这基本上可认为是一般光学显微镜的最高分辨能力了。

图6

在可见光波段想要获得更好的分辨率极限，显微镜系统在设计时就要尽量选用蓝紫光线作为照明光源。

二、增大n•sinα的值，这个值也被标为NA值（数值孔径）

选用折射率的更大的介质，以及增大孔径角有助于提高显微镜的分辨率。显微物镜上都会标识NA值（如图6中标识NA值为0.055），同等放大倍率的物镜，更大的数值孔径可以获得更好的分辨率。

图7

恩斯特·阿贝博士是耶拿最有名的物理学家、光学家，在人类历史上留下的宝贵财富远不止阿贝公式。还有阿贝正弦条件，阿贝数，阿贝最早在蔡司推行了8小时工作制，成为现代雇员保障制度的先导者。为了纪念阿贝博士的伟大贡献，位于月球背面的一座大约形成于30多亿年前的撞击坑被命名为阿贝环形山。在耶拿，卡尔蔡司，恩斯特阿贝，以及奥托肖特三人被称为耶拿三杰，也代表着德国光学之城耶拿的辉煌成就。