[已解决]高数，梯度引力场问题

qiuyu_lzl

如图，高数下册第九章第七节，方向导数与梯度
例题中讲了引力场，来回看几篇了，意思大概懂了，
但怎样用引力场去求解引力问题：如质量M物体对距离R质量m的物体的引力是多少？

同济高数电子版http://www.optzmx.com/thread-10237-1-1.html

最佳答案

月排行榜 / 总排行榜

hngxyzc

2020-6-16 23:06

1、对于空间某个位置，存在数量函数f（r），则这就是数量场，这个很容易理解，比如密度是位置的函数，温度是位置的函数，电势是位置的函数。
2、这个数量场是标量，只有大小没有方向。但是标量场的变化趋势，则不一定是标量了，比如山的高度，是位置的函数，不同的位置，高度不一样，但是高度是标量，和方向无关。如果我们画等高线，则就会发现有的地方比较陡峭，有的地方比较平缓，每个位置的陡峭度是不一样的，这个陡峭度其实就是梯度，不仅有大小，还有方向，这个方向就是最陡峭的那个方向。
    强调一下，这里高度是标量场，陡峭度是对应的向量场，陡峭度实际上就是梯度。这个山的高度函数与陡峭度函数数之间的纽带关系，就是对高度函数求梯度。
3、一个带电为Q的净电荷，其周围存在电势，这个电势是个标量场，只有大小，没有方向。但是不同位置的电势是变化的，有的地方变化很敏感，有的位置变化平缓。对电势函数求梯度，就得到电场强度，电场强度就是对应的向量场，有大小，有方向。求得电场强度后，距离该点电荷r距离的去电荷受到的力F=E*q
4、同理，地球的外部空间存在引力势，是个标量函数，只有大小没有方向。该引力势与距离成反比，m/r.
对这个引力势函数求梯度，就可以知道引力场强度，m/r*r.代表的就是距离m物质距离r处的1kg物质收到的引力，则M质量物质受到的引力=引力强度*质量M。

跳转到最佳答案楼层

z晓晓

例题7，结论写了grad(m/r)=-m/r的二次方是代表力F。其中原点质量为m,r点质量是1。
楼主问题是：如质量M物体对距离R质量m的物体的引力是多少？
我觉得直接写m×grad(M/R)=-Mm/（R*2）就好啦吧？
个人见解。

qiuyu_lzl

z晓晓 发表于 2020-5-1 15:06
例题7，结论写了grad(m/r)=-m/r的二次方是代表力F。其中原点质量为m,r点质量是1。
楼主问题是：如质量M物 ...

万有引力公式当然很熟的了，直接写出m×grad(M/R)=-Mm/（R*2）是很容易得出来的，，，
我是在想如何应用梯度去理解这问题，想的不是透，，，不知道是不是对梯度这概念理解的不是很透彻导致

z晓晓

qiuyu_lzl 发表于 2020-5-1 20:26
万有引力公式当然很熟的了，直接写出m×grad(M/R)=-Mm/（R*2）是很容易得出来的，，，
我是在想如何应用 ...

我理解的梯度是，它只是一个利于书面表达而创造出来的数学工具（算符），有方向性，常用的是笛卡尔坐标系，两点之间最短距离是其方向，就像电磁场E的方向一样。运算起来方便吧，就像正则方程，引用简正坐标。就像某点的势能m/r大小取决于零势能取在哪里，才知道r的大小。它的运算法则刚刚好使grad(m/r)=F成立。

z晓晓

qiuyu_lzl 发表于 2020-5-1 20:26
万有引力公式当然很熟的了，直接写出m×grad(M/R)=-Mm/（R*2）是很容易得出来的，，，
我是在想如何应用 ...

补充：我的大学老师说的，很多算符在数学上其实没有实质的意义，而有一部分算法其实是物理学家创造出来的，原因是因为这些算符用在物理计算上可以省去很多步骤。甚至数学家不喜欢这些算符。其实我理解嘛，就是根据物理本质才逆向创造这些算符的，不能用先看算符再去理解物理本质。。哈哈哈就是它只是个工具符

hngxyzc

1、对于空间某个位置，存在数量函数f（r），则这就是数量场，这个很容易理解，比如密度是位置的函数，温度是位置的函数，电势是位置的函数。
2、这个数量场是标量，只有大小没有方向。但是标量场的变化趋势，则不一定是标量了，比如山的高度，是位置的函数，不同的位置，高度不一样，但是高度是标量，和方向无关。如果我们画等高线，则就会发现有的地方比较陡峭，有的地方比较平缓，每个位置的陡峭度是不一样的，这个陡峭度其实就是梯度，不仅有大小，还有方向，这个方向就是最陡峭的那个方向。
    强调一下，这里高度是标量场，陡峭度是对应的向量场，陡峭度实际上就是梯度。这个山的高度函数与陡峭度函数数之间的纽带关系，就是对高度函数求梯度。
3、一个带电为Q的净电荷，其周围存在电势，这个电势是个标量场，只有大小，没有方向。但是不同位置的电势是变化的，有的地方变化很敏感，有的位置变化平缓。对电势函数求梯度，就得到电场强度，电场强度就是对应的向量场，有大小，有方向。求得电场强度后，距离该点电荷r距离的去电荷受到的力F=E*q
4、同理，地球的外部空间存在引力势，是个标量函数，只有大小没有方向。该引力势与距离成反比，m/r.
对这个引力势函数求梯度，就可以知道引力场强度，m/r*r.代表的就是距离m物质距离r处的1kg物质收到的引力，则M质量物质受到的引力=引力强度*质量M。