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木子李

天空很蓝 发表于 2020-6-19 18:39
有时间把全文都翻译一遍吧

好的，好的，好的

小土豆

                                                   Image distortion, pupil coma, and relative illuminationOptical                                                                     

                                                      像畸变，瞳孔慧差和相对照度光学

论文创新点：主要探究了像畸变，瞳孔慧差和相对照度光学的关系，同时还提供了关于瞳孔增长、失真和和拉格朗日不变量之间的关系的见解。

期刊：Applied Optics

日期：2020.03.11

作者：Tim P. Johnson 1,2, * AND Jose Sasian

摘要：相对照度受到像畸变、瞳孔慧差和瞳孔放大的影响。像和瞳孔像差有已知的关系，也可以用瞳孔放大来表示。瞳孔彗差是瞳孔沿场轴的拉伸或压缩，直接影响相对照度。前止式设计在出口瞳孔上有瞳孔畸变，而后止式系统在进口瞳孔上有瞳孔畸变。在主要瞳孔像差中，瞳孔慧差对光学设计中的相对照度影响最大，并伴有明显的像差(如鱼眼透镜)。拉格朗日不变量适用于利用瞳孔彗差的离轴近似产生图像畸变的系统。相对照度可以用失真、瞳孔放大和物体-空间场角度来表示。——美国光学学会

介绍：瞳孔放大率是出瞳直径与入瞳直径的比值。相对照度是一个介于0-1之间的数字，用于测量恒定亮度对象的空间变化图像辐照度。而图像畸变在图像上，瞳孔的像差引起在瞳孔处的横向射线误差。由于引起两种像差的光学系统是相同的，所以如果物体被放置在瞳孔的入口，瞳孔像差是相等的。一般来说，当瞳孔匹配多个系统时，瞳孔像差会导致晕光。当光阑位于入射光瞳，或光阑位于光学系统内时，它们也会影响相对照度。当光阑为出瞳时，相对照度不受瞳像差的影响，因为其尺寸是固定的，视场角度是变化的。

像差和瞳孔像差通过下面的方程直接相关。例如，瞳孔畸变(W31l)与图像彗差(W131)成正比，而瞳孔彗差(W131)与图像畸变(W311)成正比。(W400)与(Wo4o)球差存在类似的关系。而瞳孔散光(Wz22)与图像散光(W222)成正比;同样与场曲率成正比(Wz2o, W220)。注意W是像差，i是主射线角，u是入射线角。当量化一个光学系统(不仅仅是表面)时，质数和非质数的光线角度分别显示在出光瞳或出光瞳处。

传统的像差假设物体是完美的，没有像差。至于瞳孔像差，我们假定出瞳是未像差的，而光学系统造成入瞳像差。因此，上述方程给出了出口光瞳上零像差时的进口光瞳像差。这直接适用于后止式系统，因为我们假设在光阑止点处瞳像差为零。因此，对于前止动系统，对瞳孔像差的标志进行修正，以得到出口瞳孔像差。例如，正瞳孔昏迷意味着进入瞳孔生长，或者更普遍的是，进入瞳孔变得比离开瞳孔大。因此，对于前端停止系统，符号翻转和正瞳孔昏迷意味着一个缩小的出口瞳孔大小。这些瞳孔像差方程可以应用于每个表面，也可以应用于使用光线的系统。在瞳孔和像差之间还有一个与边缘射线或主射线角的变化成比例的偏移项。换句话说，一个系统可以有高瞳像差和零像差，反之亦然。例如，一个只有轴上场的平面镜可以使用表面上的非球面来校正球差。如果止动点在二面，则入口瞳孔会产生瞳孔畸变(Wl)。由于像差是场相关的像差，所以只有轴上场的像差为零(W131 = 0)。在这种情况下，瞳孔畸变不是由于像彗差造成的，而是由于像(u’)和物体空间(u)之间的边缘射线角度的变化造成的。因此，对于轴上场，该透镜具有零像差，但存在较大的瞳孔像差。

瞳孔慧差与图像畸变和主射线角度的变化有关。对于宽视场(WFOV)，由于图像(i’)和物体空间(i)之间的主射线角度的变化，图像失真接近于零的设计仍然会有明显的瞳孔慧差。这也可以用瞳孔放大倍数(mp=i/i’)来表示，图2展示了两个鱼眼镜头设计的例子。左边的设计有mp =3。我们可以看到由于瞳孔慧差，进入瞳孔放大。

                                                                              

右侧mp = 1，左侧mp=3，两种设计都具有近似相等的焦距和几乎零失真。瞳孔彗差(瞳孔放大)随图像畸变(W311)或瞳孔放大而增大。因此，如果mp= 1，则正畸变的前系统出口瞳孔尺寸减小，其后系统进口瞳孔尺寸增大。

对于mp = 1的系统，瞳孔大小的变化如图所示：

相对照明：

相对照度是指给定扩展均匀目标在像面上的归一化照度。对于单镜头，镜头上有光圈(零失真，出瞳尺寸不变)，相对照度RI =cosf(0’)，相对照度仅是图像空间参数的函数:出瞳尺寸和主光线角度。当存在瞳孔像差且出光瞳不受停止限制时，出光瞳的大小和形状可能会随视场角度的变化而变化，从而影响相对照度。然而，对于后挡系统，相对照度仅是像空间主光线角的函数，且主光线角会受到畸变的影响。正失真增加0'比没有失真更多。

                                                                              

光照作为物体空间角度的函数，那么正失真导致更快的下降(更糟的光照)。相反，负(桶)失真，造成相对照明减少下降(更好的照明)时，绘制作为一个函数的对象空间角度。瞳孔放大定义mp=XPD/EPD，其中XPD为出口瞳孔直径，EPD为进口瞳孔直径。拉格朗日不变量，将光束在一个瞳孔处的直径与通过该瞳孔的主射线角度联系起来。因此，瞳孔放大也将图像的主射线角与物体的主射线角联系起来，因此相对光照可以写成物体空间角度的函数，这表明增加瞳孔放大率会增加相对照度(减少衰减)，因为它减少了像空间的主射线角度。增加瞳孔放大率在WFOV设计中也是有益的，因为它减少了入射的光线的feld角，便于控制像差。场相关像差随各面上的feld角增大而增大，因此减小入射到各面上的feld角可以减小像差。

                  

上图绘制了不同失真值和瞳孔放大值下的相对光照与物体空间角度的对比图。两幅图的瞳孔放大值分别为2和3。左边的图有+30%的失真在边缘的feld，而右边的图有-30%的失真。这个方程的一个有趣的特点是，如果近轴瞳孔放大是一个单位(mp=1)，那么失真抵消，相对照度不是一个函数，回想一下，这个方程是由高斯方程推导出来的，它没有考虑除了畸变以外的其他像差。因此，在存在其他像差的情况下，方程是近似的。然而，一般情况下，当瞳孔放大是统一的，每个表面的散光是零时，畸变是零。

总结：

本文讨论了图像畸变、瞳孔彗差、瞳孔放大和拉格朗日不变量之间的关系。图形示例演示了这些数量的标志，以及它们如何改变前拦和后拦光学系统。导出了相对照度与图像畸变率和瞳孔放大率的函数关系。希望通过本文的研究，对图像畸变系统的相对照度有进一步的了解。

11454

                       直线方程迭代式法设计自由曲面LED透镜
论文创新点：简化了自由曲面算法，不需要解微分方程，根据此算法可以快速得到透镜初始模型。
存在的问题：论文都是基于点光源来设计的，实际过程中LED有面积大小。


作者：邹吉平 （同济大学建筑与城市规划学院，上海 200092）
摘要：本文推导了一种基于直线方程的迭代式，采用该迭代式设计自由曲面透镜时，可以克服其他仅考虑
单面配光设计方法的不足。以余弦负二次方函数分布的配光曲线设计为例，验证了该方法的可行性，并比
较了直线方程迭代式和偏微分方程迭代式计算结果间的差异。
1. 引言
随着 LED 照明技术革命日益铺开，其配光设计方法也逐渐变得多样化，但总的说来，可以分为试错寻优法和数
值计算法两种。前者一般需要强大的光学软件优化功能作为支撑，同时还需一个初始的参数化模型，从而在该初始
模型的基础上依靠软件或人工干预逐步调整各个参数，采用自动或半自动的试错比较办法来寻找更优越的参数，从
而得到较满意的模型；后者则需要理论完备的数学模型作为支撑，其模型是多样化的，比较典型有：基于偏微分方
程建立的数学模型、基于直线方程的迭代式模型等。采用试错寻优法设计过程中，建立初始的参数化模型也是多样
化的，可以根据经验先建立初始三维模型，也可以先模仿一个现有的产品 (如三维扫描某现成产品)，选取某些抛物线
或双曲线等简单参数化的模型逼近产品的关键性截面，然后调整这些少量的参数达到试错寻优的目的。试错寻优法
主要是经验与软件技巧的掌握，难以从理论上加以论述，而关于基于偏微分方程的数学模型相关的文献已屡见不鲜，
笔者不再赘述，本文重点介绍如何采用一种基于直线方程的迭代式设计 LED 自由曲面透镜的方法。 2. 尺规作图法设计反射器
在计算机辅助设计之前，不仅工程制图完全依靠尺规作图，而且灯具的反射器轮廓也可以采用尺规作图的方法
设计。由于该方法不仅简单易学，可以帮助光学设计者迅速完成最初始的草案设计，还能够推导出基于直线方程的
迭代式方法，因此，本文从最传统的设计方法入手，并依此为基础，讨论其直线方程迭代式的设计原理。
在 LED 二次光学设计过程中，光源的配光曲线是已知的，被设计灯具所期待的配光曲线是可以预估的或等同于
已知的，因此，可以利用环带光通法、入射与出射光线的能量积分法、经验法等，总可以把入射光线与反射光线
（或折射光线）一一对应起来。由于知道入射光线或出射光线，则反射面或折射面从理论上来说肯定也是已知的，
其关键问题只有两个：第一，如何找到非常便利的入射出射对应关系；第二，如何寻找一种即简单又准确的方法绘
制反射面或折射面。本节为了画图便利，仅讨论一种非常简单的对应关系：入射光线经反射器反射后，反射光线与
入射光线的夹角成 90 度。如图 1 所示，LED 光源的光学中心位于坐标原点 O，把与 X 轴正方向的夹角小于 60 度的光
线反射后，使其与 X 轴正方向的夹角增加 90 度。要实现尺规作图绘制反射器轮廓，可以分以下几个步骤完成：
第一步：把需要通过反射器改变传播方向的光线离散化为入射光线I1, I2,...I7，并分别对应于反射光线
R1, R2,KR7 。各入射光线间的夹角为 10 度，并绘制相邻入射光线间的角平分线作为辅助线，供后面各步骤参考。
第二步：选定反射器的起点，即与入射光线 I1相交点 A 的位置，并平移反射光线 R1 至 A 点处（也可不平移）。
第三步：根据 I1和 R1 的角平分线与反射面垂直的关系，可以确定反射面的方向，该反射面与入射光线 I1和 I2
的角平分线相交于 B 点，如图 1 中绘制的线段 AB 。
第四步：根据 I2 和 R2 的角平分线与反射面垂直的关系，可以确定新的反射面方向，且该新反射面的起点为第
三步绘制的反射面 AB 的终点 B ，该新反射面与入射光线 I2 相交于C 点，与入射光线 I2 和 I3 的角平分线相交于
D 点，如图 2 中绘制的线段 BCD 。
第五步：重复第四步，如图 3 所示，绘制出线段 DEF, FGH, HIJ LM , JKL, 等其余线段，直到与最后一条
入射光线相交为止，然后，连接与入射光线相交的所有交点 AC EG IKM ，得到光滑的曲线即为反射器的轮廓线。
                                 
3. 建立基于直线方程的迭代式
3.1 尺规作图过程中隐含的迭代过程
尽管采用尺规作图设计反射器轮廓比较简单，但在离散化入射光线时，其入射光线数不能太多，否则，画图的
工作量是巨大的。如果入射光线太少，则可能导致误差增大。该方法存在的另外一个严重问题是：每次修改一个设
计就相当于重新绘制一遍轮廓图，其设计效率非常低。但从上一节分析知，绘制一两段反射面最多只需要五步就能
完成，对于光线数较多的反射面制图，仅仅是重复性的步骤而已，这些重复性的步骤如能够采用数学迭代式表达出
来，则可以由相应程序计算出各直线或各直线间的交点坐标，那反射面的设计与修改就非常容易了。
3.2 各直线间的几何关系
在建立迭代式之前，需要把各直线间的函数关系用数学表达式写出来。首先，以设计透镜时需要考虑的折射原
理为例，建立如图 4 的坐标系，光源位于坐标原点 O ，点 P 为透镜上任意一点，过 P 点作透镜表面的切线 MP 交
Y 轴于点 M ，过 P 点作透镜表面的法线QP 交Y 轴于点Q 。

由原点出发的光线OP 经折射面 MP 折射后，改变传播方向至 PR ，入射角为i ，折射角为 r ，入射光线、折
射光线、反射面和法线与Y 轴正方向的夹角分别定义为γ ,ϕ t,, n ，根据几何知识有公式 (1) 成立：
                                                                                                    （1）
设入射光所在介质的折射率为 ni ，折射光线所在介质的折射率为 nr ，由折射定律可以得到公式 (2)：
                                                                                                       （2）
由 (1) 带入 (2) 可推导出法线QP 与Y 轴正方向的夹角 n 应满足 (3) 式:
                                                                                (3)
3.3 迭代式的建立
如图 5 所示，若折射面的起点为 P1 ，其坐标可表示为 ( XP1,YP1) ，入射光线束被离散化为OP1,OP2,.....OPn ，
分别与Y 轴正方向的夹角为γ1, γ 2, .....γ n ，与该入射光序列所对应的折射光线分别为 P1R1, P2R2,..... PnRn ，折射
光线序列分别与Y 轴正方向的夹角为ϕ1, ϕ2,...... ϕn 。

根据点 P1(XP1,YP1) 以及折射面 P1P2 的法线的斜率负倒数（由公式 (3) 求出）可以写出 P1P2 的点斜式方程 (4)，
并与入射光线OP2 的直线方程 (5) 联立可求出点 P2 的坐标 P2 ( XP2,YP2 ) ，如公式 (6) 所示：
                                 (4)   (5)
                           (6)
根据点 P2 (XP2 ,YP2 ) 以及折射面 P2P3 的法线的斜率负倒数（由公式 (3) 求出）可以写出 P2P3的点斜式方程 (7)，
并与入射光线OP3 的直线方程 (8) 联立可求出点 P3 的坐标 P3(XP3,YP3) ，如公式 (9) 所示：


在求出点 P3(XP3,YP3) 后，可以把点 P3 等效看作 P1 点，重复公式 (4)~(6) 和公式 (7)~(9) 的过程，计算出 P4 和P5
的点坐标，由此递推可得到迭代通式，即：偶数序列P2, P4 ,L, P2n 的点坐标和奇数序列 P3, P5,L, P2n+1 的点坐
标可由公式 (10) (11) 得出：  


3.4 多折射面的迭代式
从公式 (5) 和 (8) 看出，入射光线经过坐标原点 O ，若入射光线并非从坐标原点出发，而是经过某折射面后到
达所求的折射面，则可定义各入射光线的起点为O1,O2 ,......On ，其横坐标表示为 XO1, XO2 ,.....XOn ，纵坐标为
YO1,YO2 ,......YOn ，则公式 (5) 和 (8) 改写为 (12) 和 (13) ，再分别与公式 (4) 和 (7) 联立，即可推导出点 P2 的坐标
P2 ( XP2,YP2 ) 的表达式 (14) 和点 P3 的坐标 P3(XP3,YP3) 表达式 (15)：
  
4. 直线方程迭代式与偏微分方程迭代式对比
4.1 偏微分方程简化与偏微分方程迭代式的建立
设光源位于C - γ 坐标系的原点，如图 6 所示，自由曲面上的任意一点 O′可以表示为ρ
C, γ，角度 C
为向量OO ' 在 XOY 平面上的投影与 X 轴正方向的夹角，角度 γ 为向量OO ' 与 Z 轴正方向的夹角；若以点 O′
为球坐标系的球心，则出射光线向量O ' R 可以表示为ρ
θ, φ，其中角度 θ 为向量O ' R 在 XOY 平面上的投
影与 X 轴正方向的夹角，角度 φ 为向量O ' R 与 Z 轴正方向的夹角，则自由曲面ρ
C, γ可由偏微分方程组
(18) 表达出来 [1]。对于旋转对称或拉伸型反射器或折射器来说，取C = θ = 0o，则公式 (18) 可简化为 (19)，
再根据梯形法求解微分方程的思路，可以把公式 (19) 离散化，得到偏微分方程迭代式 (20):





4.2 入射光线与出射光线对应关系
入射光线与出射光线的对应关系是多样化的，它主要取决于光学设计者的设计目标与设计经验，因篇幅限制，
本文仅以朗伯型光源经透镜外表面重新分配为余弦负二次方函数为例讨论两种迭代式的区别。假定内表面不改变光
线路径，透镜折射率为 ni = 5.1 ，出射光线所在材质的折射率 nr = 0.1 ，出射光线的最大配光角度为 120 度。根据
光源光线经过透镜前后的积分相等或相差一个系数（光学效率）的原理，可以得到输入光线、输出光线与图 4 中的 Y
轴（或图 6 中的 Z 轴）正方向的夹角γ 与ϕ 之间应满足公式 (21)，其详细推导过程可参见文献[1]。
                                        (21)
4.3 两种迭代式的计算结果比较
设透镜自由曲面的起点坐标为 P1 10,0( ) ，即此时的 ρ0 = 10 ，并把入射光线离散化为间隔 0.1 度的入射光线序
列，把公式 (21) 分别代入 (10) (11) 和 (21)，即可得到两种迭代式的计算结果，如表 1 所示，表中有灰色填充背景色
的数据 ρk ， xk 和 zk 为偏微分方程迭代式的计算结果，加双线框的数据 XPn 和YPn 为直线方程迭代式的计算结果，
根据两组数据绘制出的自由曲线如图 7 所示。需要注意的是，在利用迭代式求解出的点坐标绘制自由曲面时，挑选
奇数点序列或奇数点序列的一部分作为曲线的基点较适宜，这是因为任何一个奇数点与相邻两偶数点在同一条直线
上（可由图 3 看出），如选择同一直线上的三点作为光滑曲线的基点，则存在所绘制曲线不够光滑的可能性。

5. 结论
从计算结果比较表及自由曲面图形可以看出，两种迭代式求解出的自由曲面相差很小，尤其
是曲线上相对应位置的曲率误差更小，即两种方法所得到的配光曲线几乎是无差异的。在轴对称
或沿直线方向拉伸形式的透镜或反射器设计时，直线方程的迭代式非常实用，尤其是解决内外表
面同时为折射面的问题时，该方法能弥补其他仅考虑内表面或外表面光学设计的不足。  

maturer

主要内容：这篇论文的主要目的是介绍一种在摄影中用到的快速变焦镜头。这个镜头的视场角超过86°、边缘照度大于60%。除此之外，这篇论文指出了如何有效地在（负正负正正）镜头组的第一个面使用非球面。这种方案考虑到了畸变的影响。文章给出了非球面使用的有效设计方案，并对设计结果进行了优化和评估。（在最多用两个非球面的前提下，分别对用两个和一个非球面、在凹面和凸面上用非球面以及在正向变焦和负向变焦上的凹凸面进行对比。整篇文章给我的感觉就是严谨。）在文章的最后则通过一个例子给出了变焦镜头中一种校正场曲的方案。

PS：翻译有不足之处请指正，因为有一些光学名词确实没有听说过。

英文原文不知道为什么发不上来

yy88aa

自由曲面成像光学系统设计:理论、发展与应用摘要：
传统球面以及非球面可供光学系统设计使用的自由度较少。 自由曲面打破了旋转对称以及平移对称的几何约束, 特别适用于校正非旋转对称系统的像差, 同时可以减少系统中元件的数量, 减小系统的体积与质量, 实现传统光学系统难以实现的系统参数、 结构与功能。 自由曲面为光学设计的发展注入了巨大潜力, 但同时也带来了全新的困难与挑战。 概括性地总结了自由曲面成像系统设计的研究现状。 简要介绍了自由曲面的常用数学描述与自由曲面成像系统的像差理论, 总结了自由曲面成像系统的设计方法, 并对自由曲面在各类成像系统中的应用进行概述。 最后, 对自由曲面成像光学设计的未来发展方向进行了讨论与展望。
问题点：综述性质文章，主要介绍了自由曲面成像系统的像差理论，自由曲面设计方法，和其应用，可以对自由曲面有一个基本了解，具体设计等应参阅相关具体文献。
文献太大，没法放附件，放个链接吧
链接：https://pan.baidu.com/s/1TSr0sAMKAocDQT89fEkuig
提取码：ktn4

大大大大大任

文章针对国内外光纤的发展的需求、历程，进行了简单归纳。着重对光纤研磨抛光、光纤熔融拉锥、光纤光栅刻写、光纤化学腐蚀以及光纤微磨削加工等光纤端面加工技术进行分析与总结，并进一步阐述光纤端面加工技术的发展趋势。适合刚接触相关领域的人作为一篇科普性质的文章了解阅读。

123-

High performance metalenses: numerical aperture,

aberrations, chromaticity, and trade-offs

高性能超透镜：数值孔径、像差、色度和权衡

HAOWEN LIANG,1,† AUGUSTO MARTINS,2,† BEN-HUR V. BORGES,2 JIANYING ZHOU,1 EMILIANO R. MARTINS,2,4 JUNTAO LI,1,* AND THOMAS F. KRAUSS3,1

概括：作者通过比较不同介电材料并分析高折射率材料的优势，发现这些材料在设计制造方面都具有更多自由度。特别是金属胶。问题：金属胶虽然可以提供更多设计和制造自由度，但是会被色差和高数值孔径所限制。
金属镜由局部控制光相的纳米结构组成。他们为许多自由提供操纵波前，它比散装镜片具有许多优势，例如直接的球形畸变和超薄尺寸。在这里，我们比较了由不同的介电材料，并注意高折射率材料的优势。较高的折射率硅等材料在设计和制造方面具有更多的自由度，并且是高性能金属胶，即使在可见的情况下也是如此。然而，单元金属的成像性能仍然受到色差的限制。高数值孔和大的限制加剧了这种限制区域。我们回顾数值孔径，视野，昏迷，色差，挑战和权衡，和大小。我们还评估了解决这些问题的不同阶段工程方法。我们相信这篇评论将有助于指导高性能金属的未来发展，以实现宽场和高分辨率成像，启用科学高端微型成像系统。
1.简介
跨度是二维（2D）超材料，可划定控制光的相位，极化，幅度和分散通过亚波长光原子。通过空间调整这些元原子的地理度量参数，反射或传播波前可以随意控制[1-4]。亚波长度原子有两个主要角色：（1）他们可以通过高空间分辨率和（2）它们避免了衍射顺序如果元原子在大于距离的距离间隔大于波长。元图最常见的实现之一是镜头函数（即，目标是更换笨重的金属人具有纳米结构，轻巧且紧凑的物镜镜片胶卷没有表现）[5,6]。另外，科学金属概念的价值是引入新的功能传统的光学系统无法实现。在这里，我们评估了高性能金属和发展的进展突出显示进一步改进的路线。
A.金属
与任何镜头一样，数值孔径（Na）[7]是一个关键人物金属的功绩，包括实现高成像分辨率和最大化光收集。挑战是产生一个相曲线，可实现高NA，同时使其他畸变最小化。相比之下，传统的单个高Na玻璃透镜无法克服单色和色彩畸变，这使得有必要将多个镜片组合在一起诸如Achromat之类的系统以实现大型视野（FOV）在宽波长范围内。但是，这样的系统通常是笨重，复杂且昂贵。寻找金属或金属融合这个挑战是一个非常活跃的研究领域。应用程序手机摄像机[8-10]，内窥镜[11]，新兴虚拟已经讨论了增强现实观众[12]和微型光学平面凸轮和探测器[13,14]。在这些不一定需要高NA的系统，因此更容易解决昏迷和Achro matic畸变。在高NA金属中，但是，这些关键参数更加敏感。这些光学问题尚未同时解决当前的低NA设计，并且肯定会阻碍高NA金属在高端光学显微镜OBJEC TIVES [15-18]和光学镊子中的应用。充分实现诺言这些应用，色差和有限的FOV昏迷是必须克服的主要瓶颈。
B.引入阶段的机制
为了引入任意阶段轮廓，相位调制元原子赋予的应覆盖完整的0-2πrange[19-21]。这种调制是通过共振来实现的或非共振效果，或两者的组合。

共鸣效果通常包括光子中的扩展布拉格散射晶体[22–27]或高对比度光栅构型[28-34]，或者，局部MIE共振[35-40]。非分子效应包括用子波长结构实现的有效指数调制，并具有特殊情况的元原子。通过旋转将相位调制到圆形入射光上。后一种方法特别成功，是称为Pancharatnam – Berry（PB）相调制[41–53]，但确实需要一个圆形极化的输入光束。虽然谐振方法往往具有较小的带宽，但它们的多通性也意味着它们可以变得更薄，它在制造和重生方面具有优势。例如，100 nm薄硅光栅可以达到满相控制[30,54]，而PB结构通常需要高纵横比（即它们由500-700 nm高的纳米结构组成具有低100 nm的横向尺寸）。这个优势必须是权衡与共振结构通常为对制造公差更敏感。结构的高度h是有效指数方法的直接结果，因此，最大相位变化Δφ积聚在A中单次通过由提供的光路差给出结构

使用nmeta，元原子和nback的有效索引背景的折射率。 等式（1）是一般表达，而PB结构的索引对比度（NMETA -NBACK）应由有效的指数差代替两个正交极化。 无论哪种情况，高索引con trast对于降低高度h都是有利的，这使得结构更容易制造。不同的摘要共振和非谐振纳米结构中使用的原理是如图1所示。
C.物质选择
在金属上的早期工作主要使用等离子材料，但它们的前向射击表现不佳和高度损失已导致人们的注意力转向了全丝。材料，如图1所示。低吸收，高折射率和制造便捷性告知介电的选择。例如，二氧化钛（TIO2）[8,9,12]，氮化炮（GAN）[55-57]和硅Ni Tride（SI3N4）[11,58–60]通常用于可见波长，聚硅（P-SI）[16,30,59]和无定形硅（A-SI）[15,49,61–63]在近红外和中红外政权中，而氮化铝（ALN）[64,65]和二氧化碳（HFO2）[66]适用于紫外线范围。有趣的是，现在也已经认识到，通过仔细的设计，Crystal Line Silicon（C-SI）[54,67-73]也可以在可见的，其高折射率特别是Advanta Geous。在这里，我们专注于在可见的Tio2，GAN和CI现在正在成为主要的参数（图2）。TiO2和GAN是明显的选择，因为它们在可见波长下损失较少。他们的折射率在2.0至2.4，这为空气提供了高对比度。但是，在某些应用，例如显微镜，通常是有利的使用浸入油来增加NA并改善决议。提醒我们，NA描述了镜头聚焦的能力并收集光并解决小功能。它被定义为

为了达到高NA，折射率对比度（NMETA -NBACK）变得更加关键（例如，对于Nback 1.5的浸入油，对比度下降到低于统一），并且具有两个重要的con序列：首先，元原子纵横比变得很高。结构变得非常难以捏造； SEC OND，低对比度减少了光学的限制波到元原子，从而增加相邻的元素，降低了整体焦点效率。晶硅提供了一种有趣的选择提供高折射率（re nmeta〜4），相对较低即使在可见范围内吸收（Im nmeta∈0.01，0.1）；在532 nm处报告了高达67％的效率[71]

2.金属的光学性能
A.超高数值孔径
正如已经讨论过的那样，到目前为止，硅金属已经达到了报告的NA性能最高，重要的是将上下文产生。 例如，一种替代方法如图所示，图3（a），浸入na 1.1Nback 1.5的油。 此策略对于降低折射率材料，因为聚焦效率为不会因浸入而退化。 然而，背部沉浸从图3（a）和可以的最大NA限制基材厚度的工作距离，以及可以限制工作距离取得成就。 高金属的另一个相关功能NA是离散化的，这是由相邻的元原子（即单位单元尺寸A）。 单元大小必须满足采样（Nyquist）标准以确保衍射受限分辨率[5,6,12]，因此


满足此标准随着NA而变得更具挑战性增加。请注意，此方程仅反映了奈奎斯特标准。另外，单位单元必须是亚波长（即，a <λ∕N，以防止不必要的衍射）。对于非分子案例，单位细胞大小的减小意味着较小的fea ture尺寸，既然高度H固定，则意味着更高的方面比率，从而使制造更加困难。另一个设计Chal lenge是，随着相邻的元原子与减小A和降低功能大小，每个特征的限制元原子降低，导致近场耦合是相邻元素。所有这些约束都放松了较高的折射率，它再次建议硅作为一个更合适的材料。对于局部共振结构，例如MIE谐振器，其功能大小由操作波长，因此固定。减少采样然后，晶胞会产生更强的近场耦合相邻元素，类似于非谐波情况。诸如HCG之类的扩展率依赖于多个光栅期；一旦采样单元细胞收缩至三个时期[70]，无法再实现衍射效率下降和高NAS。引入了更复杂的结构来解决有效的高角度挠度的困难；在这里，重复单元是一个由多个不同功能组成的超级单元，或旨在达到特别高的自由形式的几何形状大挠度角的效率[74-78]。考虑到更大的尺寸这些超级电池的范围，通常在多个单元上延伸细胞，他们仍然遵守等式。
B.昏迷/视野
讨论了个人的材料和设计约束元原子，现在让我们考虑整体的阶段曲线金属人。双曲功能成功地引入了金属人社区，因为它不遭受球形的困扰畸变[79]。但是，对于高NA，此优势是偏移通过引入昏迷和其他外轴畸变，严重限制FOV。这些效果在图4中说明了直径为20μm的金属，Na为0.8。 4（a） - 4（c）指的是等式4）。图4（d）–4（f）是指数值优化的配置文件。所以

其中K0和F是自由空间波数和焦距，Nback分别是背景的折射率介质，A是优化系数，R是半径。最后，ρ是等效球形镜头的曲率半径。它可以从几何光学和Fermat原理中显示从光轴上的点源出现的光线图3.（a）背部浸入和（b）前浸的示意图双曲线透镜的金属对象平面[等式。 （4）收敛图像平面中的光轴上的点，因此双曲线镜头没有球形畸变[80]。双曲线轮廓，但是，有轴畸变，可以减少通过施加相位校正的多项式函数，如图所示由球形镜头[82]。为了正常发病率，光场紧密聚焦在所有情况下的焦距为15μm[图2。

4（a），4（d）和4（g）]。该田间绘制了精美的表明，在产生最紧密的异常焦点时，超胆汁轮廓的强度。但是，当入射角增加到30度时，双曲线透镜的焦点由于轴畸变而严重扭曲，如图4（b）所示。这种像差也是从点扩展功能（PSF）明显明显在图4（c）中，有许多发射角。注意如何PSF的侧叶随着角度不对称地增加发病率增加，峰值相应下降。对于很小的角度来说，这种减少已经显而易见了，严重限制了FOV。设计的主要挑战之一因此，高Na金属素质是减少离轴（主要是昏迷）畸变并增加FOV。解决昏迷问题显然很重要，并且已经吸引了很多兴趣[79-81,83,84]。减少大多数尝试昏迷依赖于数值优化[13,81,84]。通常，将多项式函数叠加到超振液相位曲线上，并优化其系数，如第二项等式所赋予的典范。5）。字段配置文件的示例用这种程序获得了垂直和图2中的角发生率。 4（d）–4（f）。显然减少，尽管对PSF的仔细观察表明与图4（c）相比，焦点斑点略有扩展。从图4（d）中可以明显看出这种拓宽的。虽然入射波覆盖了整个金属，射线COR仅从有限的区域出现了焦点，才能响应大约一半的镜头半径。这意味着优化的阶段曲线会诱导有效孔孔上的金属并减少Na。有趣的是，这有效的光圈（由虚线的正方形突出显示）是横向的当发射率增加时移位，如图4（e）。实际上，有效光圈的外观及其位移随着入射角的函数是A的标志球相曲线[等式。（6）]。因此，我们添加了一个球形。 4（g）和4（h）显示相应的场曲线和有效孔径。 “移动”孔再次出现，焦点是不变的在入射角中，镜头不昏迷。从图4（i），对于0之间的所有入射角几乎相同和30度（有关大区域的模拟，请参见补充1，金属表现出与较小的效果相同的效果图4中的镜头。这种比较指出了数值的结论优化过程实质上将双曲线转换为球相曲线。它还突出了同时构成球形和离轴畸变的困难在一个元图中。例如，双曲相剖面纠正球形畸变，但引起了球形轮廓相反。多层元信息，相反，可以同时纠正这两个畸变以制造复杂性为代价。哪一个权衡取决于特定应用。第二个强加有效的光圈，这限制了有效的NA镜头。实际上，对每种形式的金属素的单独研究（未显示）作为Na的函数，表明焦点没有当镜头的NA越来越超出Na≈0.7，表明此值是一定的基本限制由校正的金属。显而易见的问题是否有效的光圈。
研究场分布的傅立叶变换（FT）帮助我们理解问题。图5（a）和5（e）显示了金属田的2D英尺分别具有球形和Hy-hy-hy-hy-hy phopol phopiles的函数。这光线显示为虚线的白色圆圈。圆外的任何k-vector组合都是逃生的，因此不会有助于关注。图5（c）和5（g）（红线）显示带有光线的相应线图现在表示为虚线的黑线。双曲相轮廓其傅立叶组件紧密限制在光线内，因此，为垂直发病率提供了最佳性能。其K矢量成分的幅度增加的事实增加了朝着光线解释了其高性能，因为高k矢量成分的幅度很大确保焦点紧密。球形相位剖面，另一个手，在光线外有组件（即镜头强加于上面的K组件菲利夫受费官k2x k2y q ∕ k0> 1到传入光束）。

这些成分是evan的，没有贡献到焦点。此外，在实际空间中，它们是在金属的边缘，是有效的机能的原因；因此，乍一看，它们似乎浪费了。当输入角度然而，变化正是这些高的存在避免k组件，因为高k组件以较高的输入角度可用，然后有助于图像形成。比较k空间时，这种效果显而易见对于垂直入射[2和2中的红线。 5（c）和5（g）]角发生率[图2中的蓝线。 5（c）和5（g）]。的效果角发生率是在该特定的DI剖分中增加K-vetor，从而向侧面移动频谱[另见图。 5（b）和5（f）]。现在的双曲线镜头现在失去了K-向量，从而失去了聚焦力量；特别是，k矢量分布变为非常不对称，这是昏迷和其他轴畸变的明确签名。但是，对于球形镜头，k-vector以前组件现在发挥作用并进入光线。总体而言，其k矢量分布在很大程度上类似于在垂直率，因此聚焦性能也将相似。因此，强加有效的光圈由高的K矢量组件的减少是直接相关，不是偶然的。有效NA的起源也可以从射线光学的观点，正如我们用传统的那样说明的（“散装”）具有球形轮廓的镜头。图5（d）显示了射线追踪这种镜头的正常，我们将等效跨表面的字段曲线叠加球相曲线[如等式。 （6）]。注意有效金属的光圈与射线的面积相吻合，形成了散装镜头的焦点。图5（h）显示了30度的发病率，我们注意到类比很大程度上成立。所以，常规的球形镜头也施加了有效的光圈。这种有效的光圈不充当物理孔径，但是，由于进入高梯度区域的光可能会通过通过未分化的，产生阴霾和还原图像对比。因此，使用物理可能是有利的孔，例如，由多层镜头提供[13]。在这一点上值得强调的是，不可能获得一个单个阶段轮廓，可完美地纠正昏迷和对于球形异常，同时[79,80]。任何阶段概况将是Na，球形像差之间的权衡，因此挑战是找到最佳的妥协。在这方面采用的一种方法是第二个跨表面的研究（即形成一个元图Doublet [81,83]）。让我们考虑介绍的系统由Groever等人。 [81]为例。双重组由具有球形剖面的金属人在前面和施密特板在背面，施密特板旨在校正球形畸变。该安排的目的是将球形轮廓变成双曲线轮廓，但使操作角度无关。我们首先将Schmidt-Plate直接叠加到球形镜头[图。 6（a）]。对于垂直的发生率，Pro cedure确实确实纠正了球形像差，如固体橙色线代表所需的双曲线轮廓。蓝色和绿色实线代表球形轮廓和Schmidt-plate相位轮廓。然而，对于结式，仍然存在昏迷。

而球形轮廓“向上移动”角度，[图6（a）中的蓝色虚线]，校正阶段轮廓（绿色虚线）不移动向上，导致不对称相位剖面（橙色虚线）。为了无昏迷，校正阶段轮廓也应移动带有球形轮廓。实际上，这可以通过将两个板的距离分开。在这种情况下，沿d的宣传将施密特板的相位剖面投射球形元面上的正确位置，如图所示图6（b）;双打现在产生一个双曲线轮廓垂直线（橙色实线）和斜发生率（橙色虚线）。因此，系统纠正了两个昏迷和球形畸变同时。不幸的是，系统在NA和FOV之间实施了权衡。注意第一个镜头的入口孔限制了系统的NA并且输出镜头的大小限制了FOV，从而明显几何。遵循此逻辑，可以简单地增加只要第二个镜头更大并且保持D小的。然而，所得的较大的工作角度导致施密特板的相位剖面的形成介绍了焦点球形镜头，它引入了Aberra。挑战。具体而言，小组延迟与元原子共振的质量因子（Q因子）成正比[93]，并且满足了中等大小的艾伦斯，NAS已经需要元原具有高Q。同时要求高Q元原子的次波长尺寸非在设计金属设计方面的艰难挑战[93]纠正波长像差的另一种途径为了级联或空间多重多重元信息，每个de签名为特定的工作波长[94,95]。这种方消除等式的相位分散需求。


因此，Ena bling具有高Na和大尺寸的金属设计，尽管我们注意到这种方法无法实现Achromaticity。权衡是效率和颜色均匀性；例如，证明了具有NA的双重金为0.42，他们获得了38％的非常可观的效率1180 nm和1680 nm的52％。最近，Menon等人引入了一种替代方法来获得多波长操作，仅要求焦平面中的强保持在不同的波长，同时让相位为免费参数[96]。作者通过多级差异分裂镜来实现这一原理，范围450–850 nm，平均效率令人印象深刻，为60％尽管仅通过将NA限制为非常低的值为0.075[96]。实际上，具有高NA的Achromat可以达到60％ - 在整个可见范围内的80％效率尚未展示并仍然是一个公开挑战。
3.结论和前景
基于全电材料的金属胶已经证明了它们的补充并可能取代其传统体积光学对应物。他们的一些重要特征是直接的CMOS-兼容制造方法，厚度减小的CORRE SPOND和更容易的光对齐方式和相机模块中的包装。尽管金属性能最近和次级进展，但许多区域仍有待探索和改进。高质量的金属具有超高NA和高效率已被证明，但是他们的成像性能仍低于传统的表现显微镜目标。成像性能必须进一步在应用生物学研究，材料科学甚至光刻和共聚焦激光扫描显微中得到改进，可以认真考虑。昏迷是改善IM衰老性能并扩大FOV的必要条件。我们的仔细分析已经强调了关键问题，尤其是考虑傅立叶空间。希望它将指导进一步的改进。与色差校正结合在一起，金属具有在AR和VR的可穿戴显示器中广泛使用的潜力或在手机摄像头模块和光场成像中。物质选择是另一个重要的考虑因素，以低成本的金属制造是一个他们提供的诺言的重要组成部分[97-101]。我们注意到这一点硅在这方面起着重要作用，不仅是因为硅技术的成熟度，还因为硅具有考虑所有材料的最高折射率。它的可以通过设计合适的元原子来最小化吸收在某种程度上，接近TIO2的效率已经已经实现了。它的高指数提供了更多的设计灵活性，特别是对于高NA运营，可能会提供更好的权衡在上面概述的许多冲突要求之间。我们相信这些挑战将被解决。

至此未晚

A flexible angle compensation method for freeform surface testing based ontip/tilt mirror

基于摆镜的自由曲面灵活角度补偿方法

具有大非球面度的自由曲面通常很难检测。我们提出了一种新的基于摆镜(TTM)的干涉测量方法。通过TTM在多个维度上动态补偿入射光线方向，以控制局部表面轮廓陡峭位置处的光线入射角。因此，倾斜角取决于被测表面的局部梯度。当控制所有子区域上的入射角时，我们可以获得一系列较低密度的干涉图，基于这些干涉图可以确定表面轮廓。本文分析了该方法的补偿范围，基于20 mrad倾斜角和3.3 F数，最大可测倾斜度为2.8°。此外，还对TTM补偿精度的影响进行了仿真，当补偿精度低于40 μrad时，补偿误差可以忽略不计。通过一系列试验证明了该方法的准确性和有效性。

1.      Introduction

自由曲面光学以其卓越的性能和紧凑性而闻名，已广泛用于现代光学系统。与球面相比，自由曲面元素具有额外的自由度来实现这些特性。然而，这些额外的自由度也会导致较大的非球面梯度，而传统的基于干涉仪的检测方法无法用于此类表面。由于巨大的梯度变化，表面产生的条纹密度超过了通常的 CCD 阵列的奈奎斯特频率（Nyquist frequency）是为防止信号混叠需要定义最小采样频率。），造成无法测量，光线甚至可能从干涉仪中逸出。因此，未解析的条纹是由参考光束和测量光束之间的大角度引起的。因此，丢失了包含在条纹中的准确形状信息。

目前已发展了几种大非球面梯度自由曲面单元的干涉测量方法。其中有些是基于梯度分割的，有些是基于梯度补偿的。基于梯度划分的方法，如基于子孔径拼接干涉仪的方法，将陡峭的轮廓分成多个局部区域来降低梯度。这减小了参考波前和测量波前之间的角度，因此降低了对参考波前的要求。拼接干涉仪的一个缺点是扫描过程引入了机械不稳定性。在基于梯度补偿的方法中，通常使用相位补偿器和角度补偿器。位相补偿器产生与被测表面相对应的波前，例如零透镜和计算机生成的全息图。由于它的“一对一”模式，每种表面都必须匹配相应的零光学元件，这既耗时又费钱。因此，基于数字微镜器件（DMD）的动态相位补偿方法已经开发出来，其中微镜间距被限制在3.5-16μm。

角度补偿法的原理是利用角度补偿器对入射到被测表面的光线进行重新调整。补偿照明方向的目的是控制光线在陡峭轮廓上的入射角，从而改变反射方向。因此，在两束相干光之间以较小的角度形成较低密度的干涉条纹。倾斜波干涉仪(TWI)是一种典型的角度补偿装置，由于其非零位配置，因此需要灵活地进行自由曲面元件检测。然而，在TWI中，微透镜阵列被用来为不同的测试分区产生一组具有不同倾斜度的波前。固定的微透镜阵列只提供固定的补偿角，因此限制了其可测量性。此外，阵列中的每个微透镜同时利用光源的能量；因此，需要更高功率的激光器，而计量激光器不适合。

本文提出了一种利用TTM对入射角进行动态补偿来检测自由曲面的方法。TTM起到角度补偿器的作用，即分时补偿。根据TTM的倾斜角度，确定入射角。对被测表面进行补偿，实现局部梯度补偿。此外，倾斜角度的值与测试表面的局部梯度相适应。因此，我们的方法显示出极大的灵活性，可用于具有大非球面的自由曲面，而无需额外的能量负担。也就是说，我们采用分时的方法来实现能源的集中利用。我们首先建立我们方法的数学模型。然后分析了TTM补偿范围和精度的影响。最后，我们的装置的一系列测试结果证明了该方法的精度和有效性。

2.      The measurementprinciple

2.1.  Principle ofgradient compensation（梯度补偿原理）

通常，我们使用α来估计非球面梯度，即自由曲面法线与其最佳拟合球面法线之间的夹角，如图1所示。自由曲面点A1上的反射光线返回到干涉仪，两个相干光束之间的夹角为γ。γ角越大，条纹密度越大。特别是，自由曲面上的反射光线，例如点A2，由于其较大的非球面梯度而从干涉仪中逸出，如图1(a)所示。因此，常规干涉仪不适用于大非球面度自由曲面的检测。

图1.梯度补偿示意图。(A)无梯度补偿的自由曲面测试。(B)带梯度补偿的自由曲面测试。S为标准球面透镜组；O为最佳球面中心和S的焦点；R为最佳球面半径；f为标准球面透镜组S的焦距。

根据反射定律，可以通过补偿入射光线的方向来调整反射光线的方向。因此，反射光线返回干涉仪，并在两个相干光束之间形成一个较小的角度，如图1(B)所示。此外，还可以对条纹密度进行解析。因此，采用分时TTM对入射光线方向进行动态补偿，控制入射光线在局部表面轮廓较陡区域的入射角度。

2.2.  Setup for incidentangle compensation

图2所示的实验装置参照非零位的Twyman-Green干涉仪。准直光由分束器BS1分成参考束和测量束。参考光束被参考镜反射，然后穿过BS1、BS2，进入成像系统。同时，测试光束通过可精确调节倾角的TTM进行反射。然后，测试光束由标准球面透镜组(S)会聚并入射到测试表面上。当TTM相对于其初始方向倾斜β角时，光线在测试表面上的入射角将带有相应的补偿角。这意味着被测表面上的入射角被TTM补偿。

       因此，通过控制入射角来补偿局部陡峭轮廓上的大的非球面梯度。被测试表面反射并携带这些局部轮廓的形状信息的测试光线返回干涉仪并与参考光线干涉。由于补偿了大的非球面梯度，使得参考光束和测试光束之间的夹角最小，以满足奈奎斯特采样准则。因此，有效的条纹图被成像在CCD上。此外，我们还驱动安装在压电陶瓷(PZT)上的参考镜来实现7帧相移。当控制所有子区的入射角度时，我们可以利用CCD获得一系列改进的条纹图，从而确定整个轮廓。

图2.(A)基于TTM的入射角补偿原理图。BE：扩束器；BS1、BS2：分束器；S：标准球面透镜组。(B)来自三个测试的干涉图、相应的测试分区以及TTM与光轴之间的角度。TTM与光轴的初始夹角为45&#9702;。β1，β2是TTM的两个倾角。

2.3.  Mathematical modelof the incident angle compensation（入射角补偿的数学模型）

TTM的倾斜方向与其补偿的局部照明光线之间的几何关系如图3(A)所示。

图3.TTM倾斜方向与其补偿的局部照明光线之间的几何关系示意图。O，最佳拟合球面的中心；R，最佳拟合球面的半径；A，自由曲面上的任意点；B，A在光轴上的投影点；C，入射光线与光轴的交点；S，标准球面透镜组；f，标准球面透镜组S的焦距；OO‘，标准球面透镜组S的焦平面；θA，AO与光轴的夹角；θA’，入射光线与光轴的夹角。

TTM的初始角度是相对于光轴45&#9702;，然后倾斜β角。条纹图(上方干涉图，倾斜角度β)和测试光线(上方路径，倾斜角度β)如图所示。为便于分析，我们将自由曲面上的任意点命名为点A，其坐标为(xA，f(xA))，并接收入射光线O’A。我们将点A的补偿角定义为ωA，即反射光线与其最佳拟合球面法线AO之间的夹角。然后，根据ωA和αA的定义，将A点上的反射角定为αA-ωA。根据反射定律，A点上的入射角也等于αA-ωA。因此，对于入射光线和AO之间的角度，我们有以下关系。

标准球面透镜组S的主光线与光轴以2β角相交。S的焦点在O‘点。我们可以确定|OO‘|的高度为

      

其中f是标准球面透镜组S的焦距。上述角度满足三角形关系。我们有等式(3)、(4)及(5)如下：

其中θA是AO和光轴之间的角度，θA‘是入射光线和光轴之间的角度。

联立等式(1)-(5)，补偿角ωA和A点上的入射角补偿与TTM的倾斜角β相关

等式(6)是本方法数学模型的主要结果。因此，我们根据被测表面上的非球面梯度αA来倾斜TTM以使补偿角ωA最小化。TTM作为角度补偿器，其补偿范围和补偿精度是决定系统可测量性的重要参数。在此基础上，分析了TTM补偿范围和精度的影响。

等式(6)是本方法数学模型的主要结果。因此，我们根据被测表面上的非球面梯度αA来倾斜TTM以使补偿角ωA最小化。TTM作为角度补偿器，其补偿范围和补偿精度是决定系统可测量性的重要参数。在此基础上，分析了TTM补偿范围和精度的影响。

3.      Analysis

3.1.  Compensating rangeanalysis（补偿范围分析）

根据奈奎斯特采样定律，CCD阵允许干涉光束之间的最大夹角为ωA _max，在此范围内相机可以有效地采集干涉图。根据等式(6)，在本方法中可以补偿的最大角度ωA _max为

其中β_max是TTM的最大倾角。

此外，入射和反射角由标准球面透镜组S的F数限制。通过应用在图3(A)中的等式(4)和(5)，我们得到(8)-(11)如下：

其中F是准球面透镜组S的F数。

基于等式(6)和(8)-(11)，补偿范围由标准球面透镜组S的倾角β和F数决定，并且R值和被测表面直径必须与S匹配。因此，我们分析了倾角β和F数的影响，其中被测表面上的离轴距离(X)恒定为20 mm。我们在表1中列出了F数(Zygo公司)和倾角(PI公司)的常用值，并计算了相应的补偿范围。

另一方面，补偿范围也受到离轴距离x的影响。为了估计固定系统的补偿范围(F数)，我们分析了自由曲面不同位置处的最大角度αA_max。为了简化分析，我们将两个相干光束之间的夹角ωA_max设为零，这意味着从被测表面反射的所有光线在通过最佳拟合球心(O)后都将返回干涉仪。在这些体系中，标准球面透镜组(S)的F数分别为1.5和3.3。自由曲面上的离轴距离(X)范围为10mm到50 mm。分析了倾角分别为2mrad、5mrad、10mrad和20mrad时的补偿范围。根据公式(7)，我们可以计算出不同离轴距离下的最大角度αA_max。得到了α角与离轴距离x之间的关系，如图4所示。结果表明，被测表面离轴距离越远，可以补偿的角度越小。

图4.不同离轴距离对TTM补偿范围的影响。(A)标准球面透镜组(S)的F数为1.5；(B)标准球面透镜组(S)的F数为3.3.

3.2.  Compensatingprecision analysis（补偿精度分析）

采集被测表面局部光照光线的有效干涉图后，即可对各子区域进行形状重建。本文使用的重建算法、数学模型和算法流程与TWI中的重建算法基本相似。主要区别在于角度补偿的方式不同。我们的设置的一个亮点是角度补偿是动态的，它可以灵活地适应自由曲面光学系统，并通过能量聚集来保证测试光束的质量。到目前为止，在TWI中有两种重建算法。第一种是Zernike多项式扰动算法，它是用解析式建立的光学模型，在几个子区域用Zernike多项式来拟合全孔径试件。然后通过比较被测表面和理想表面的Zernike系数的扰动得到偏差。通常，这种方法适用于数学表达式清晰的光学曲面。另一种是将计算全息法与回程误差消除算法(CGW-REE算法)相结合，主要针对没有精确数学表达式的光学元件。文[20]详细讨论了CGWREE算法、数学模型和算法流程。以上两种重建方法均已成功应用，具体内容见上述参考文献。

虽然这两种算法不同，但它们有一个共同的核心思想：建立一个虚拟干涉测量系统，如图2所示，并模拟虚拟干涉波前。在这个虚拟系统中，每个光学元件都是理想的，包括被测表面。将TTM的倾斜方向作为输入参数提供给虚拟系统。在实际的干涉测量系统中，对实际干涉波前进行了测量。通过对虚拟波前和实际波前的重复来重建形状。然而，在实际实验中，TTM的角度补偿误差会叠加在实际干涉图中，影响最终重建的精度，如图5所示。

图5.角度补偿误差对最终重建结果影响的示意图

因此，有必要分析TTM的补偿精度对测量结果的影响。如图5所示，理想的倾斜角是β，它是虚拟系统的输入参数。此外，倾斜角β+Δβ模拟了实际实验中的倾斜角。O，O‘，O_error和O_error’点位于S的焦平面上，因此用公式(12)计算了TTM补偿角误差对光程长度的影响。

其中γ是O_error和光轴之间的夹角，L是返回到ccd的平行光的等效长度。用方程(13)和(14)计算了理想系统中入射光线和反射光线的射线长度。

其中f是S的焦距，β是TTM的倾角。此外，实际系统中的入射光线和反射光线的长度也是通过等式(15)-(17)来计算的。

建立了基于方程(12)-(17)组合的虚拟系统，分析了补偿角度误差对最终重建算法的影响。为了模拟实验过程中TTM的补偿角度误差，以最大倾角βmax为基础，模拟了N个角度的误差。换句话说，理想的倾斜角度是βmax，而实际的倾斜角度是βmax+Δβ。利用该虚拟系统模拟了N个存在倾斜误差的重建形状，并从重建的形状中减去最理想的形状得到误差形状。然后对误差形状的峰谷值进行了比较，结果如图6所示。此外，我们还列出了四种类型的TTM及其精度。仿真结果表明，当TTM的精度低于40μrad时，其角度补偿误差可以忽略不计，因为其形状误差小于λ/50(λ=632.8nm)。各种商业上可用的TTM满足了这一条件。

图6.TTM补偿精度的影响

4.      Experiments

我们进行了两个实验来测试我们的设置的精度和性能。为了验证我们的装置的精度，我们测试了一个非球面透镜，并将结果与使用Hindle-Sphere方法的Zygo干涉仪的结果进行了比较。在对比实验中，我们使用相同的顶点位置作为测试球面波的中心。在本实验中，试件为非球面，孔径40 mm，曲率半径&#8722;130 mm，二次曲线常数为&#8722;0.8。最大倾斜角为0.25&#9702;。光源为1.2 mW的计量激光器。角度补偿器是PI公司生产的具有5-μrad精度和25-mrad倾斜角的TTM(二维活动轴)。标准球面镜片组的F数为3.33(Zygo公司)。实验用的CCD(MVC1450DMF)由Microview公司提供，像素尺寸为4.65um，成像面积为6.0 mm&#8727;4.8 mm。因此，在一般情况下，该ccd可以提供小于26.882 lp/mm的分辨率。根据在虚拟干涉系统中的仿真结果，将试件划分为九个子区进行测试。本文所用的分区方法的原理和算法见参考文献21。TTM和干涉图的相应倾角如图7所示。

图7.非球面的测量序列。(A)摆镜在x和y方向上的补偿角。这个非球面有九个测量值。(B)两个补偿角的两个干涉图。这里，βx表示TTM在x维度上的倾斜，βy表示y维度上的倾斜。

最密集的条纹频率为～76.017 lp/mm(βx=0，βy=0)，无解。角度补偿后，同点频率降至～22.907 lp/mm，小于26.882 lp/mm。Zygo干涉仪和我们的方法的结果如图8所示。非球面与其最佳球面之间的偏差如图8(A)所示。图8(C)中的结果是由Zernike多项式扰动算法得到的。残差如图8(D)所示。通过对图8(D)中残差的分析，得到PV值为0.108 λ，均方根为0.013 λ。

图8(A)非球面与其最佳拟合球面之间的偏差。(B)Zygo干涉仪测量非球面的形状误差(PV=0.352λ，均方根=0.062λ)。(C)由我们的装置测试的非球面的形状误差(PV=0.360λ，均方根=0.062λ)。(D)非球面与Zygo干涉仪之间的剩余误差(PV=0.108λ，均方根=0.013λ)。

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为了验证该方法的有效性，还进行了另一次实验。试件为自由曲面，孔径为42 mm，最佳拟合球体半径为142 mm。与最佳拟合球面的偏差为0.78 mm。图9显示了样品的设计形状和非球面梯度。根据在虚拟干涉系统中的模拟结果，我们将样品划分为16个子区进行测试，相应的TTM倾斜角如图10所示。在我们的装置中，与设计轮廓的偏差如图11所示。图11(A)中的结果是通过CGW-REE算法得到的。PV和RMS值分别为2.614λ和0.208λ。用泰勒PGI840型轮廓仪对0°和90°两个方向的测量结果进行了比较。如图11(B)所示，我们的设置与Taylor PGI840之间在0°和90°方向上的残余误差分别为0.172λ和0.219λ(PV)。将所提出的方法与Taylor PGI840轮廓仪测量的轮廓线进行了比较，证明两种方法测量的轮廓线走势是一致的。图11(B)中的残差-仅供参考，不作准确性验证。自由曲面实验表明，本文提出的角度补偿方法适用于自由曲面检测。

图9。(A)自由曲面的设计轮廓；(B)自由曲面法线与其最佳拟合球面法线之间的夹角；(C)自由曲面与其最佳拟合球面间的表面偏差。

图10.自由曲面的测量顺序。(A)TTM在x和y方向上的补偿角。此自由曲面有16个测量值。(B)a、b和c补偿角的三个干涉图。这里，βx表示TTM在x维度上的倾斜，βy表示y维度上的倾斜。

图11.(A)在我们的设置中(PV=2.614λ，均方根=0.208λ)，(λ=632.8 nm)与设计自由曲面的偏差；(B)我们的设置与TaylorPGI840之间在0°和90°方向上的残差。

5.      Conclusion

         提出了一种测试自由曲面的新方法。该方法基于入射角补偿，特别适用于非球面梯度较大的自由曲面。通过补偿光线在局部陡峭轮廓上的入射角度，反射光线返回干涉仪时可以携带形状信息，形成有效的干涉图。入射光线由TTM动态补偿，它灵活地适应自由曲面光学的许多自由度。此外，角度补偿还具有分时和能量聚集的特性，保证了激光光束的质量。分析了TTM的补偿范围和补偿精度对形状重建的影响，对TTM的选择具有参考价值。分析表明，商业化的TTM很容易满足对补偿精度的要求。基于20mrad倾角和3.3F数的标准球面透镜组，我们的方法最大可测倾斜度为2.8mrad&#9702;。通过对非球面和自由曲面的检测，验证了该方法的精度和可测性。

欢迎指正，翻译的pdf版见附件

                              

                              

陆佰_

Revisiting a classic lens design problem

Furkan E. Sahin

Maxim Integrated, San Jose, CA 95134,USA

论文来自 Optik - International Journal for Light and Electron Optics 205 (2020) 164235

概要：

        这篇文章回顾了六年前的论文《Man vs.Machine: a Lens Design Challenge》，其中一个结论是，人类设计师在有限的时间内更有效地提出了一个非常困难的镜片设计问题的优化设计解决方案。本文的动机是重新审视这个透镜设计问题，并评估在现代台式计算机上运行的当代光学设计软件可以实现多大程度的性能优化。为此，同样的镜片设计问题从头开始，采用两阶段全局优化方法进行优化，无需人工干预，仅经过一个小时的优化就取得了令人满意的结果。

主要问题：

       从零出发，优化一个8片式的透镜，利用ZemaxOpticStudio的全局优化算法，通过MATLAB脚本控制，仅经过一个小时的优化就取得了令人满意的结果。以下是总结的两个步骤。

       Step1：

       起点透镜设计由一个凸平（R=98 mm）元件、6个平板和一个平凸元件组成。最后一个表面的曲率半径被定义为f-number solve，以满足数值孔径要求，这导致最初的半径为&#8722;98 mm。所有元件均为BK7，每个元件的中心厚度设置为5mm，元件之间的间距为1mm。孔径光阑被放置为前部的外部浮动元件。

       评价函数设置为均方根（RMS）spot size，3个环和6个臂的高斯正交光瞳采样，元件边缘厚度被限制为大于1mm，中心厚度被限制在1mm和50mm之间，以及几个用户操作数来约束有效焦距、最大总长、最大畸变、像平面上的最大主光线角度和最小后焦距。

通过Hammer优化（使用阻尼最小二乘算法）30分钟。

      Step 2：

      将评价函数改为峰谷（PV）波前误差评价函数。选择了密度更大的瞳孔采样，采用8×8矩形阵列。再一次，孔径光阑位置被定义为浮动。

      对设计进行了进一步优化（再次使用Hammer Optimization）30分钟，以提高MTF。

      通过优化循环，浮动孔径光阑的最佳位置被确定为非常靠近第二透镜元件的前表面。因此，一旦优化完成，孔径光阑就被手动放置在该表面上。

以上是本文章的概要和核心透镜优化过程，后面附有英文原文和主要内容的翻译文档。

陆佰_

陆佰_ 发表于 2023-4-3 11:18
Revisiting a classic lens design problemFurkan E. SahinMaxim Integrated, San Jose, CA 95134,USA论文 ...

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